> restart;
> #Runge-Kutta-Verfahren mit Schrittweitensteuerung für AWP y'=f(t,y), y(t0)=y0
> RungeKutta1:=proc(y0,t0,f,T,h0,maxtol,mintol)
> #t0,y0,T,h Anfangsstelle, Anfangswert, Intervalllänge, Schrittweite
> #f(.,.) rechte Seite der Differentialgleichung
> #mintol,maxtol untere und obere Schranke für relativen Diskretisierungsfehler
> local RK,t,y,u,v,w,est,fehler,h;
> RK:=proc(y,t,f,h)
> # ein Runge-Kutta-Schritt mit Schrittweite h
> local y1,k1,k2,k3,k4;
>   y1:=y;
>   k1:=f(t,y1);
>   k2:=f(t+h/2,y1+k1*h/2);
>   k3:=f(t+h/2,y1+k2*h/2);
>   k4:=f(t+h,y1+k3*h);
>   y1:=y1+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
>   RETURN(y1)
> end:
> t:=t0; y:=y0; h:=h0;
> while t<T do
>  if t+h>T then h:=T-t fi;
>  u:=RK(y,t,f,h); # grobe Näherung für y(t+h)
>  w:=RK(y,t,f,h/2); # Näherung für y(t+h/2)
>  v:=RK(w,t+h/2,f,h/2); # bessere Näherung für y(t+h)
>  est:=(v-u)/15;
>  v:=v+est;
>  fehler:=abs(est)/(0.001+abs(v)); #Berechnung des geschätzten Fehlers
>  if fehler>maxtol then h:=h/2 else y:=v; t:=t+h;
>  print(t,y) fi;
>  if fehler<mintol then h:=2*h fi;
> end do
> end:
> 
> 
> #Vergleich klassisches Runge-Kutta-Verfahren:
> RungeKutta:=proc(y0,t0,f,T,N)
> # Schrittweite ist (T-t0)/N
> local y,t,k1,k2,k3,k4,j,h;
> y:=y0; t:=t0; h:=(T-t0)/N;
> print(`klassisches Runge-Kutta-Verfahren:`);
> for j from 0 to N-1 do
>   k1:=f(t,y);
>   k2:=f(t+h/2,y+k1*h/2);
>   k3:=f(t+h/2,y+k2*h/2);
>   t:=t+h;
>   k4:=f(t,y+k3*h);
>   y:=y+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;
>   print(t,y)
> od
> end:
> 
> #Beispiel 1: y':=-2ty^2, y(1.0)=0.5;
> f:=proc(t,y)
> local g;
> g:=-2*t*y^2;
> RETURN(g)
> end:
> maxtol:=0.00001: mintol:=0.000001:
> RungeKutta1(0.5,1.0,f,2.0,0.1,maxtol,mintol);
> # Vergleich mit genauer Lösung
> print(`genaue Lösung:`);
> for j from 1 to 10 do print(1+j*0.1,evalf(1/(1+(1+j*0.1)^2))) od;
> #Vergleich mit klassischem Runge-Kutta-Verfahren mit h=0.1:
> RungeKutta(0.5,1.0,f,2.0,10);

                           1.1, .4524886868


                           1.3, .3717471642


                           1.5, .3076922435


                           1.7, .2570693447


                           2.0, .1999998612


                            genaue Lösung:


                           1.1, .4524886878


                           1.2, .4098360656


                           1.3, .3717472119


                           1.4, .3378378378


                           1.5, .3076923077


                           1.6, .2808988764


                           1.7, .2570694087


                           1.8, .2358490566


                           1.9, .2169197397


                           2.0, .2000000000


                  klassisches Runge-Kutta-Verfahren:


                       1.100000000, .4524889829


                       1.200000000, .4098365642


                       1.300000000, .3717478373


                       1.400000000, .3378385306


                       1.500000000, .3076930244


                       1.600000000, .2808995871


                       1.700000000, .2570700938


                       1.800000000, .2358497043


                       1.900000000, .2169203437


                       2.000000000, .2000005578

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